极限函数是数学分析中的核心概念之一，它描述了函数在某一点附近的趋近行为。掌握极限的计算方法和一些重要的极限公式对于理解微积分、实分析等高等数学领域至关重要。下面将介绍几个常见的极限函数公式。

1. 基本极限

- 常数的极限：如果\(c\)是一个常数，则\(\lim_{x \to a} c = c\)。

- 线性函数的极限：对于任意实数\(a\)和\(b\)，\(\lim_{x \to a} (bx + c) = ba + c\)。

- 幂函数的极限：如果\(n\)为正整数，则\(\lim_{x \to a} x^n = a^n\)。

2. 复合函数的极限

- 如果\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)且\(\lim_{y \to L} g(y) = M\)，则\(\lim_{x \to a} g(f(x)) = M\)。这表明复合函数的极限可以通过逐层计算来确定。

3. 三角函数的极限

- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。

- \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\)。

这些极限公式在处理与三角函数相关的极限问题时非常有用。

4. 指数函数和对数函数的极限

- \(\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e\)，其中\(e\)是自然对数的底。

- \(\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^{x} = e\)。

- 对于对数函数，\(\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1\)。

这些公式在理解和计算涉及指数增长或衰减以及对数变换的问题中非常重要。

5. 无穷大和无穷小的关系

- \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)。

- \(\lim_{x \to 0} x^n = 0\)（\(n>0\)）。

这些公式帮助我们理解无穷小量和无穷大量之间的关系，以及它们如何影响函数的行为。

掌握这些基本的极限公式和技巧，可以帮助解决许多复杂的数学问题。通过练习和应用这些公式，可以加深对极限概念的理解，并提高解决问题的能力。